模运算
举例
，值为1上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理：
Turbo Pascal对mod的解释是这样的：
A Mod
（div含义为整除）概念及性质
本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。
基本概念
给定一个正整数
，任意一个整数，一定存在等式；其中 k、r是整数，且
，称 为 除以 的商，为 除以 的余数。对于正整数和整数 , ，定义如下运算：取模运算：
，表示a除以p的余数。模p加法：
，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，，则。模p减法：
，其结果是算术差除以p的余数。模p乘法：
，其结果是算术乘法除以p的余数。说明：
1.同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做
p或者。2. n % p得到结果的正负由被除数n决定，与p无关。例如：
(在java、C/C++中％是取余，在python是模运算，此处％按取余处理)。基本性质
（1）若
，则。例如 ，（2）
意味（3）对称性：
等价于（4）传递性：若
且 ，则运算规则
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
（1） （2）（3） （4）结合律：
交换律：
（7）（8）分配律：
（9）重要定理：
若
，则对于任意的c，都有（10）若
，则对于任意的，都有（11）若
，则（12）基本应用
判别奇偶数
奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。已知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。
C++实现功能函数：
判别素数
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如
是质数，而 则不是，后者称为合成数或合数。判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法：用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。
实现功能函数：/*函数名：IsPrime
函数功能：判别自然数n是否为素数。
输入值：int n，自然数n
返回值：bool，若自然数n是素数，返回true，否则返回false*/
#include
bool IsPrime(unsigned n)
{
unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子
for
{
if (!(n % i)) //n能被i整除，则说明n非素数
return false;
}
return true;
}
最大公约数
求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：
证明：a可以表示成
，则假设d是a,b的一个公约数，则有
，而，因此因此d是
的公约数假设d 是
的公约数，则，但是因此d也是(a,b)的公约数
因此
和的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。C++实现功能函数：
/*函数功能：利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数
函数名：Gcd
输入值：
unsigned int a，自然数a
unsigned int b，自然数b
返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数*/
unsigned Gcd(unsigned a , unsigned b)
{
if (b)
return Gcd(b , a % b);
return a;
}
/*函数功能：利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数
函数名：Gcd
输入值：
unsigned int a，自然数a
unsigned int b，自然数b
返回值：
unsigned int，两个自然数的最大公约数*/
unsigned Gcd(unsigned a , unsigned b)
{
unsigned temp;
while (b)
{
;}
return a;
}
模幂运算
利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把
的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是，所以问题就简化了。根据运算规则（4）
，我们知道。由于。根据运算规则（3）
，由于，我们得到。
计算完毕。
利用这些规则我们可以有效地计算
。简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法之后应用％运算符（这样使得result的值变小，以免溢出），执行N次相乘后，result就是我们要找的答案。这样对于较小的N值来说，实现是合理的，但是当N的值很大时，需要计算很长时间，是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。
如果N是偶数，那么
；如果N是奇数，那么
；其中[N]是指小于或等于N的最大整数。
C++实现功能函数：
/*函数功能：利用模运算规则，采用递归方式，计算
函数名：PowerMod
输入值：
unsigned int x，底数x
unsigned int n，指数n
unsigned int p，模p
返回值：unsigned int，X^N(% P)的结果*/
unsigned PowerMod(unsigned x , unsigned n , unsigned p)
{
if (!n)
return 1;
unsigned temp = PowerMod((x * x) % p ,
, p); //递归计算（X*X）^[N/2]if (n & 1) //判断n的奇偶性
temp = (temp * x) % p;
return temp;
}
孙子问题(中国剩余定理)
在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数。”
这个问题称为“孙子问题”。关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”。
我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
根据剩余定理，可以把此种解法推广到有n(n为自然数）个除数对应n个余数，求最小被除数的情况。输入n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，计算机将输出最小被除数。
C++实现功能函数：
/*函数名：ResidueTheorem
函数功能：运用剩余定理，解决推广了的孙子问题。通过给定n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，返回最小被除数
输入值：
unsigned int devisor[]，存储了n个除数的数组
unsigned int remainder[]，存储了n个余数的数组
int length，数组的长度
返回值：
unsigned int，最小被除数*/
unsigned ResidueTheorem(const unsigned devisor[] , const unsigned remainder[] , int length)
{
unsigned product = 1; //所有除数之乘积
for (int
; iproduct *= devisor[i];//公倍数数组，表示除该元素（除数）之外其他除数的公倍数
unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);
for (int i=0 ; i
commonMultiple[i] = product / devisor[i];
unsigned dividend = 0; //被除数，就是函数要返回的值
for (int i=0 ; i
{
unsigned tempMul = commonMultiple[i];//按照剩余理论计算合适的公倍数，使得tempMul % devisor[i] == 1
while (tempMul % devisor[i] != 1)
tempMul += commonMultiple[i];
dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数
}
delete []commonMultiple;
return (dividend % product); //返回最小被除数}凯撒密码
}
凯撒密码（caeser）是罗马扩张时期朱利斯o凯撒（Julius Caesar）创造的，用于加密通过信使传递的作战命令。
它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用，z的后面可以看成是a。
例如，当密匙为
，即向后移动3位时，若明文为”How are you!”，则密文为”Krz duh btx!”。凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下：
在这里，可以做一约定：明文记为m，密文记为c，加密变换记为E(key1,m)（其中key1为密钥），
解密变换记为D(key2,m)（key2为解密密钥）（在这里
,不妨记为key）。凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换：
（其中n为基本字符个数）同样，解密过程可表示为：
（其中n为基本字符个数）C++实现功能函数：
/*函数功能：使用凯撒密码原理，对明文进行加密，返回密文
函数名：Encrypt
输入值：
const char proclaimedInWriting[]，存储了明文的字符串
char cryptograph[]，用来存储密文的字符串
int keyey，加密密匙，正数表示后移，负数表示前移
返回值：无返回值，但是要将新的密文字符串返回*/
#include
void Encrypt(const char proclaimedInWriting[] , char cryptograph[] , int key)
{
const int NUM = 26; //字母个数
int len = strlen(proclaimedInWriting);
for (int i=0 ; i
{
if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')//明码是大写字母，则密码也为大写字母
cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';
else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')//明码是小写字母，则密码也为小写字母
cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';
else//明码不是字母，则密码与明码相同
cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];
}
cryptograph[len] = '\0';
}
/*函数功能：使用凯撒密码原理，对密文进行解密，返回明文
函数名：Decode
输入值：
char proclaimedInWriting[]，用来存储明文的字符串
const char cryptograph[]，存储了密文的字符串
int keyey，解密密匙，正数表示前移，负数表示后移（与加密相反）
返回值：无返回值，但是要将新的明文字符串返回*/
#include
void Decode(const char cryptograph[] , char proclaimedInWriting[] , int key)
{
const int NUM = 26; //字母个数
int len = strlen(cryptograph);
for (int i=0 ; i
{
if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')//密码是大写字母，则明码也为大写字母，为防止出现负数，转换时要加个NUM
proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';
else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')//密码是小写字母，则明码也为小写字母
proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';
else//密码不是字母，则明码与密码相同
proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];
}
proclaimedInWriting[len] = '\0';
}
总结
模运算及其简单应用差不多就这么多了，其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛，这些只是一些最最基本的情形，希望能够起到一个抛砖引玉的作用，让更多的人关注模运算，并及其应用到更广阔的领域中。