实数集

简介

通俗地认为，通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集，通常用大写字母 R表示。

定义是由四组公理为基础的：

加法定理

1.1.对于任意属于集合 R的元素 a、 b，可以定义它们的加法 a+ b，且 a+ b属于 R；

1.2.加法有恒元0，且 a+0=0+ a= a（从而存在相反数）；

1.3.加法有交换律， a+ b= b+ a；

1.4.加法有结合律，( a+ b)+ c= a+( b+ c)。

乘法定理

2.1对于任意属于集合 R的元素 a、 b，可以定义它们的乘法 a· b，且 a· b属于 R；

2.2乘法有恒元1，且 a·1=1· a= a（从而除0外存在倒数）；

2.3乘法有交换律， a· b= b· a；

2.4乘法有结合律，( a· b)· c= a·( b· c)；

2.5乘法对加法有分配率，即 a·( b+ c)=( b+ c)· a= a· b+ a· c。

序公理

3.1∀ x、 y∈ R， x< y、 x= y、 x> y中有且只有一个成立；

3.2若 x< y，∀ z∈ R， x+ z< y+ z；

3.3若 x< y， z>0，则 x· z< y· z；

3.4传递性：若 x< y， y< z，则 x< z。

完备公理

(1)任何一个非空有上界的集合（包含于 R）必有上确界。

(2)设 A、 B是两个包含于 R的集合，且对任何 x属于 A， y属于 B，都有 x< y，那么必存在 c属于 R，使得对任何 x 属于 A， y属于 B，都有 x< c< y。

符合以上四组公理的任何一个集合都叫做 实数集，实数集的元素称为 实数。