无偏估计

定义

无偏估计

设^θ(X1,X2,…,Xn)是θ的估计量，若E(^θ)=θ，对一切θ∈Θ，则称^θ为θ的无偏估计量，否则称为θ的有偏估计量。

无偏估计量的定义是：设（ξ∧）是ξ的一个估计量，若E（ξ∧）=ξ ，则称ξ∧是ξ的无偏估计量 下面说明题目中的四个估计量都是λ的无偏估计量。因为ξ8、ξ8、ξ8 都是取自参数为λ的泊松总体的样本。

无偏性

对于待估参数，不同的样本值就会得到不同的估计值。这样，要确定一个估计量的好坏，就不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由大量抽样的结果来衡量。对此，一个自然而基本的衡量标准是要求估计量无系统偏差。也就是说，尽管在一次抽样中得到的估计值不一定恰好等于待估参数的真值，但在大量重复抽样时，所得到的估计值平均起来应与待估参数的真值相同，换句话说，希望估计量的均值（数学期望）应等于未知参数的真值，这就是所谓无偏性(Unbiasedness)的要求。

举例

下面说明题目中的四个估计量都是λ的无偏估计量。首先，因为ξ1、ξ2、ξ3 都是取自参数为λ的泊松总体的样本，独立同分布，所以它们的期望和方差都是λ ，则

（1）无偏性E（λ1∧）= E（ξ1）= λE（λ2∧）= E[(ξ1+ξ2)/2]= (λ+λ)/2 = λE（λ3∧）= E[(ξ1+2*ξ2)/3]= (λ+2λ)/3 = λE（λ4∧）= E[(ξ1+ξ2+ξ3)/3]= (λ+λ+λ)/3 = λ

（2）有效性，即最小方差性D（λ1∧）= D（ξ1）= λD（λ2∧）= D[(ξ1+ξ2)/2]= [D(ξ1)+D(ξ2)]/4= (λ+λ)/4 = λ/2D（λ3∧）= D[(ξ1+2*ξ2)/2]= [D(ξ1)+4D(ξ2)]/9= (λ+4λ)/9 = 5λ/9D（λ4∧）= D[(ξ1+ξ2+ξ3)/3]= [D(ξ1+ξ2+ξ3)]/9 =(λ+λ+λ)/9 = λ/3其中 D（λ4∧）= λ/3 最小，所以无偏估计量 λ4∧最有效。